10 Metode Pembuktian dalam Matematika

Matematika merupakan ilmu tentang menarik kesimpulan yang logis. Terlepas dari ada atau tidaknya objek matematika di dunia nyata, prinsip matematika harus dibuktikan dengan penalaran deduktif. Dalam matematika, setidaknya, dikenal 10 metode pembuktian, yaitu sebagai berikut:

  1. Metode Pembuktian Langsung

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi (p maka  q) atau biimplikasi (p jika dan hanya jika q) atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah bentuknya menjadi pernyataan implikasi.

Misal kita punya teorema p  maka q, dengan p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan bahwa berlaku q

  1. Metode Pembuktian Tak Langsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p maka q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q maka ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan p maka q dibuktikan lewat kontraposisinya (menyangkal kebenaran q untuk menghasilkan p).

  1. Metode Kontradiksi

Pembuktian melalui kontradiksi. misalkan argumen matematika dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut dibuat suatu hasil yang “absurd”, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah. dengan munculnya kontradiksi antara asumsi yang dibuat tidak mauk akal dengan prinsip yang bernilai benar, maka argumen matematika itu dinilai benar.

  1. Metode “Bukti Kosong”

Bila hipotesis p pada implikasi p maka q sudah bernilai salah maka implikasi p maka  q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p maka q.

  1. Metode Pembuktian Trivial

Bila pada implikasi p maka q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p maka q.

  1. Metode Pembuktian Ketunggalan

Pembuktian ini membutuhkan bukti eksistensial. misal x, kemudian ambil sembarang objek misalnya y lalu tunjukkan bahwa y=x. Cara lain adalah dengan mengambil y yang tidak sama dengan y lalu tunjukkan kontradiksi.

  1. Metode Pembuktian dengan Counter Example

Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka pembuktian benar atau salahnya telah selesai.

  1. Metode Induksi Matematika

Semua inferensi Matematika dimulai secara deduktif mengakibatkan sulitnya melakukan pembuktian secara induktsi. Untuk itu dibuatlah pendekatan langkah-langkah untuk membuktikannya. langkah dimulai dengan menerapkan n bilangan asli pertama kemedian melakukan generalisasi pada n=k dan membuktikan kebenaran n= k+1.

  1. Metode Pembuktian Dua Arah

Untuk pernyataan yang berbentuk biimplikasi p<->q, pembuktian dilakukan dengan membuktikan p->q dan q->p. Pembuktian implikasi p->q dapat dilakukan dengan pembuktian no.1, 2, 3 dan lain-lain

  1. Metode Pembuktian Eksistensial

Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda tak konstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

Dari sepuluh metode di atas, metode mana yang paling Anda suka?

Referensi:

http://rifandy23.blogspot.co.id/2013/12/10-metode-pembuktian-dalam-matematika.html

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s